二重积分知识点总结

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重积分知识点总结万学教育 海文考研  教学与研究中心   王丹

延续往年的原则，考研命题一般不出偏题、怪题、超纲题目，而是以考察基本概念、基本理论和基本方法为主，所以大家放心复习，努力就一定会有更大的收获，更好的成绩。下面我就高等数学重要知识点——二重积分在考研中的命题规律，题型，例题等方面给大家进行总结，希望能给你带去更大的帮助。
二重积分这部分内容主要考查二重积分的计算，其中数二、数三每年都会考一道有关二重积分的大题，三重积分只对数一要求，多以计算题为主. 另外，对于数一的考生来讲，偶尔还会涉及二重积分、三重积分的应用，例如求重心坐标、形心坐标、质心、转动惯量等.
题型一  交换积分次序与累次积分的转换.
做这类题的一般步骤是：（1）确定二次积分是哪一个二重积分所转化成的二次积分；（2）由二次积分的上、下限写出积分区域D的不等式组；（3）画出积分区域D的草图；（4）根据图形写出另一积分次序的二次积分.
2012年数三第（3）题就是如此.
    设函数 连续，则二次积分 (    )
(A)  .     (B)  .
(C)  .     (D)  .
解析：由 ，可知积分区域在第一象限，由 ，可知

故 ,所以选项(B)正确.
题型二  二重积分的计算
在计算二重积分时，很多时候都要考虑被积函数的奇偶性与积分区域的对称性，以达到简化计算的目的. 具体地说，就是下面一些结论.
（1）若积分区域 关于 轴对称，且被积函数是关于 的奇函数（即满足 ），则 .
（2）若积分区域 关于 轴对称，且被积函数是关于 的偶函数（即满足 ），则 ，
其中 是 位于 轴上半平面的部分.
（3）若积分区域 关于直线 对称，则
.
下面结合一个例子进行说明.
例  设函数 在 上连续，计算二重积分
，
其中 是由曲线 与直线 及 所围成的区域.



         




解  用曲线段 （ ）及直线段 （ ）、 （ ）把区域 分成四个小区域 、 、 、 （如右图所示）. 根据积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，有



。
201年真题：设平面区域 由直线 及 围成，计算
解         







，         .
故
  

tata2015