高等数学中不可不学的题型一：不等式的证明

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高等数学中不可不学的题型一：不等式的证明

万学教育 海文考研  教学与研究中心   丁勇

一、        不等式的证明
不等式的证明在最近几年的考试题中考的非常频繁，同学答题情况非常差，实际上，这类题目的做法方法比较固定，主要涉及到：
1.单调性；
2.最值；
3.拉格朗日中值定理；
4.常数变异法；
例1.证明：当 时， .
【分析】首先通过恒等变形（如：通分、移项、变量代换等）化简，通过构造辅助函数，利用单调性或者最值、凹凸性等性质证明不等式.
【解析】令 ，欲证 ，即证 ，
设 ，那么 ，
当 时， ，所以 在 时单调减少， .
【评注】一阶导数并不一定能判断出来单调性，这个时候需要把一阶导数中的一部分假设为一个函数继续求导，或者直接对一阶导数再接着求导.
例2.设 ，证明： .
【分析】欲证 ，通过左端构造 ，区间 ，利用拉格朗日中值定理证明不等式.
【解析】令 ，显然在 上连续，在 内可导，由拉格朗日中值定理可知：
，使得 ，再设 ，那么当 时，
，所以 在 上单调减少，那么 ，有
，故 ，即 .
【评注】利用拉格朗日中值定理证明不等式，需要对 的表达式进行估值.

tata2015