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[考研数学] 高等数学中不可不学的题型二:泰勒定理的相关证明

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发表于 2014-9-19 13:42:05 | 显示全部楼层 |阅读模式
高等数学中不可不学的题型二:泰勒定理的相关证明

万学教育 海文考研  教学与研究中心   丁勇

二、中值定理的相关证明
在中值定理的相关证明中,有关泰勒定理的证明难度是最大的,其实一般知识点非常困难的,其出考试题必须具有很强的规律性,如果出现二阶及以上的导数的时候,一般使用泰勒定理。一旦确定了使用泰勒定理,做题用到以下四步:
1.找n;
    2.确定 ,将函数 在点 处展开成泰勒公式.一般题设中会提示一些特殊的点作为泰勒公式的展开点 ,通常取 为函数值为零的点、导数值为零的点、区间中点、函数的极值点或题设中给出的其他特殊的点.
3.将区间端点 和 分别代入泰勒展开式,把得到的两个展开式相加或相减.
4.如果欲证等式,则再应用介值定理即可证明;如果欲证不等式,则继续取绝对值放大、缩小即可证明.
例1.证明:若 在 上连续,在 内二阶连续可导,则至少存在一点
,使得 .
【分析】所证的等式中出现比较复杂的端点的等式的时候,往往用泰勒公式.本题中,出现了中点的函数值,故首先在展开成中点处的泰勒公式,然后再把端点函数值代入,借助于介值定理证明出来.
【解析】函数 的泰勒公式为
, 介于 和 之间,
, 介于 和 之间,
, 介于 和 之间,
上面两式相加可得 ,
又根据介值定理: ,
故至少存在一点  ,使得 .
【评注】解析如何选择特殊点展开成泰勒公式,如:中点、驻点、零点等.







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