2015年考研数学重要考点解析——微分中值定理

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2015年考研数学重要考点解析——微分中值定理

万学教育 海文考研  教学与研究中心   陈湘华

近几年的数学考试大纲变化非常少，考生们参照去年的大纲复习是明智的。我们结合大纲与大纲解析，就其中的重要考点——微分中值定理作如下分析。
与中值相关的证明题是历年考研试题中的重难点，得分率不高，考生对具体定理的条件结论看得明白，但是做题的时候，不知道如何使用。其主要原因是不能把具体的知识点和考题结合起来，不会归纳其中的常考题型，这里我们万学教育海文考研的数学老师重点介绍与中值相关的证明题的处理手法，以期起到举一反三的作用。根据我们的统计分析，微分中值定理的三大定理中，罗尔定理、拉格朗日定理考查频繁，而柯西中值定理考查较少。首先，我们对比分析一下它们的条件、结论与可命题角度。
先来看罗尔定理，罗尔定理的条件是闭区间上连续，开区间内可导，端点值相等，结论是至少存在一点 ，使得 ，即导函数有零点，从结论上就可以看出来罗尔定理可以用来证明导函数有零点。罗尔定理有三个可命题角度，1. 证明： 或者 ，2.证明： ，3.导函数零点个数的讨论。
再来看第二个重要的定理-拉格朗日中值定理，它的条件是闭区间上连续，开区间内可导，结论是至少存在一点 ，使得 .下拉格朗日中值定理也有三个可命题角度，1.含有端点值中值等式的证明， 2.不等式的证明（出现函数值之差），3.讨论函数有界性。
最后咱们简单地看一下柯西中值定理，条件是闭区间上连续，开区间内可导， ,结论是至少存在一点 ，使  。柯西中值定理主要是用来证明含有中值的等式 。它与罗尔以及拉格朗日中值定理有一个很好区分的特征——包含两个函数。
这样我们给大家讲了三个中值定理的条件、结论以及可命题的角度，那么考生们在做题过程中会遇到什么样的困难呢？主要有三点，第一点：定理的选择。要证明一个含有中值的等式，到底是用罗尔定理？拉格朗日中值定理？还是柯西？第二点：辅助函数的构造。我们在证明含有中值的等式时，往往需要构造辅助函数，如何构造辅助函数也是一个难点。第三点：条件的验证。比如说要用罗尔定理证明导函数有零点，此时要保证函数在区间内有两点的函数值相同，这两点不一定是端点，如何找到这两点比较困难。
首先，定理的选择有赖于对定理的深入了解，我们前面的陈述已经是初露端倪。根据条件、结论的不同以及问题的难易程度，我们推荐如下次序：对于结论中不含端点信息的题目，我们考虑罗尔定理，对于结论中含有端点信息的题目，我们首先考虑用拉格朗日中值定理，先构造一个辅助函数试验一下，如果得不到所需结果，再考虑用柯西中值定理（如果条件中明显出现两个不同函数，或者某个函数的导数非0，则首选柯西中值定理）。对于较少考到的“双中值问题”（结论中出现两个中值 ），一般考虑用两次拉格朗日中值定理或者柯西中值定理。
其次，辅助函数的构造有如下常用手段。1. 观察联想法。我们可以通过观察所要证明等式的形式,看它是否与我们常见的函数导数公式相似或相同，当两者相似或相同时,我们可以立即联想到导数公式左端括号内的函数就是我们所要构造的辅助函数 ；当不相似的时候，我们考虑加个因子，变成相似.加的因子多为指数函数和幂函数.这是几个常见的形式：
         
      
2.原函数法。当出现 与 等有关的等式时，我们把结论中的 换成 后，经过适当恒等变形（通分、十字交叉相乘、移项等）使等式右端为0,通常等式左端即为所要构造函数 导函数 .在很多情况下，我们对等式左端进行积分就可以得到辅助函数 ，我们再验证辅助函数是否满足微分中值定理的条件，这就是原函数法，也称积分构造法.
3. K值法。当我们要证明含有 或 ，且含有端点 的等式时，常可以把含有 的式子令其为 ，通过恒等变形（通分、交叉相乘、移项等）使得等式的右端为零，把等式中右端点 换成 ，等式左端的式子即为辅助函数，这就是k值法。
    前面我们给大家总结了关于中值等式的题型和构造辅助函数的方法，我们在分析题目的时候只用到了微分中值定理，并没有涉及其他的知识点。而考研数学有一个特点——综合性强，既然这样，那么中值定理能跟什么知识点结合起来考查呢？事实上，中值等式证明不仅仅是单独用到微分中值定理，还经常会与介值定理、最值定理、零点定理以及积分中值定理结合起来考查，这也是我们需要特别注意的地方。总之，只要大家把握微分中值定理的条件、结论与常考题型，多做有代表性的相关习题，时常回顾总结，一定能突破这个考研数学中的重难点。

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