2015年考研数学线性代数各章节考试的重点和题型

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2015年考研数学线性代数各章节考试的重点和题型
备考2015年考研的同学们复习完了高等数学，接下来开始复习线性代数。刚开始同学们复习线性代数时，觉得非常简单，但是随着学习的不断深入，部分同学就会觉得线性代数有些杂，找不到头绪，一头雾水。为了帮助同学们很好地复习线性代数，我们万学海文通过对历年真题的分析，在这里给出线性代数具体各章节考试的重点和题型，来帮助同学们在很好地复习线性代数。
在考试大纲中，数一、数二、数三对线性代数的要求基本相同，只有数一的要求多了解向量空间的相关知识。在历年考题中，数一、数二、数三的线性代数的题目基本相同，所以同学们在复习线性代数时它的要求是相同的，复习难度也是相同的。
线性代数的题型是非常固定的，尤其是解答题。其中一道解答题考查的是向量或者线性方程组，另外一道解答题是矩阵的特征值、特征向量或者二次型。所以同学们在复习线性代数时，一定要花大量时间来复习这些内容。
第一章行列式是整个线性代数的基础。复习行列式时，同学们主要掌握行列式的性质和展开定理，会熟练计算行列式。
行列式的计算分为数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算。
数值型行列式的计算主要是结合线性方程组、矩阵的特征值来考查。例如2012年在解答题第（I）问中直接计算四阶行列式，第（II）问考查线性方程组。2014年以选择题的形式考查了四阶行列式的计算。
抽象型行列式的计算涉及的知识点较多，经常结合矩阵的性质、特征值、相似等等考查，所以需要同学们随着学习的不断深入要不断总结。
抽象型行列式的计算主要是以客观题的形式来考查，在2010年，2012年，2013年都以客观题的形式考查。
对于行列式的定义，考试大纲要求了解，但是在考试中没有考查过它的定义，所以同学们了解定义即可。
行列式的应用—克拉默法则它主要是结合后面的线性方程组考查。
第二章矩阵的知识点是非常多的,性质多，定理多，主要包括矩阵的运算、伴随矩阵、可逆矩阵、初等变换和初等矩阵、矩阵的秩。
矩阵运算中主要是掌握矩阵的乘法，注意和数的乘法的不同。2013年最后一道解答题间接考查了行矩阵和列矩阵的乘法，很多同学没有想到，关键是没有把握住矩阵乘法的本质。
伴随矩阵、可逆矩阵、初等变换和初等矩阵是每年必考，基本上都是以客观题的形式考查。同学们要熟练掌握它们的性质，并注意区别它们的不同点。
矩阵的秩是复习的重点，也是复习的难点。矩阵的秩可以和线性代数的各章节结合来考查，所以这是一个综合命题的地方，考生要注意复习。首先要熟练掌握矩阵的秩的定义和矩阵秩的定义，然后会将秩与其他知识点结合处理题目。秩是线性代数出证明题的一个出处，在2008年结合矩阵秩的性质和向量以证明题的形式考查了矩阵的秩。
第三章向量是考试的重点，也是复习的难点。向量这部分内容定义多、性质多、定理多，而且是最抽象的。在学习的过程中可以借助于二维空间、三维空间理解向量之间的关系，也可以结合典型的数值例子来理解抽象的概念和性质。
向量组的线性相关性是考试的热点之一。向量组的线性相关和线性无关是两个对立的概念，要深刻理解向量组线性相关（无关）的概念，即掌握几个相关的重要定理，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。判断向量组的线性相关性的问题，经常转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题,也可以借助于秩。
向量组的线性相关性的考查可以以客观题的形式，也可以以解答题的形式考查。这也是线性代数中出现证明题的一个地方。2012年，2014年都以客观题的形式考查了这部分内容，2009年解答题中考查向量组线性相关性的证明。
第二个热点是向量的线性表示问题。一个向量或者一个向量组能否由一向量组来线性表示，可以转化为非齐次线性方程组是否有解的问题。客观题主要考查的是抽象向量组的线性表示，解答题中主要考查数值型或者带参数的向量组的线性表示。2011年以解答题的形式考查了这个部分内容。
第三个热点是两个向量组的等价，这与矩阵等价是不同的两个概念。此等价非彼等价。在复习完这部分内容时，要和矩阵等价联系起来，找出他们的区别和联系。这也是命题人出题的地方。2013年以选择题的形式考查了这部分内容。
第四个热点是向量组的极大线性无关组和秩，它主要是利用矩阵的初等行变换来得到的。
向量组的秩是非常抽象的内容，要掌握向量组的秩和矩阵的秩之间的联系,并且秩贯穿向量，同学们复习的时候一定要主要归纳总结。
数一多一个考点就是向量空间，这个数二跟数三是不考的。这个考点在2003年和2009年分别是以填空题、选择题的形式考察了过渡矩阵的相关知识。2010年是以填空题的形式考察了向量空间维数这个知识点。题目是比较简单的，只要掌握了过渡矩阵的定义，知道了向量空间维数的定义，这些题目都是比较容易的，很容易得分的，但是数学一的学生也不能忽略这部分内容。
向量清楚了，接下来是第四章线性方程组，这是线性代数的核心，也是考试的核心，每年必考，2010年，2011年，2012年，2013年，2014年都以解答题的形式来考查。同学们在复习这部分内容时，觉得非常简单，但一定要注意自己亲自动手多计算。很多同学做这部分内容时，觉得很简单，但是得分很差，主要是计算不过关。本章主要包括三部分内容：齐次线性方程组、非齐次线性方程组和公共解、同解。
第五章矩阵的特征值和特征向量，这同样是考试的重点，每年必考。矩阵的特征值、特征向量的计算是基础，要会熟练计算。相似矩阵的性质经常在客观题中考查，相似对角化是考试的重点内容。2014年，2011年，2008年都以解答题的形式考查了矩阵的相似对角化。
实对称矩阵同样是考试的重点。2010年，2007年，2006年实对称矩阵和第六章的二次型是一一对应的。
第六章二次型主要包括两部分内容：化二次型为标准形和正定二次型，其中利用正交变换化二次型为标准形是考试的重点内容。2013年，2012年,2009年都以解答题的形式考查了这部分内容。配方法化二次型为标准形同学们了解即可。
正定二次型的考查2010年数一以客观题的形式来考查，但是需要提醒2015年考研的学子们，这部分内容仍然是复习的重点，2005年和2000年以解答题考查了正定矩阵，但是同学答得非常不好，这是一类典型的题目，在2015年正定二次型将是一个命题的方向，所以希望同学们引起重视。
通过具体分析线性代数各章节的重点内容和考查方式，给出了相应的复习方向，希望同学们在复习线性代数时，能把握住考试的重点，计算准确快速，在考场上能够全部取得线性代数满分34分。

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